ملخص الوحدة السابعة
📝 ملخص الوحدة
١. دالة القيمة المطلقة (Absolute Value Function)
التعريف:
القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، وهي دائماً موجبة أو تساوي صفر.
{-س إذا كان س < ٠
خصائص دالة القيمة المطلقة:
- |س| ≥ ٠ لجميع قيم س
- |س| = |-س|
- |س × ص| = |س| × |ص|
- |س ÷ ص| = |س| ÷ |ص| (حيث ص ≠ ٠)
- |س + ص| ≤ |س| + |ص| (متباينة المثلث)
الرسم البياني التفاعلي لدالة القيمة المطلقة
الدالة: ص = a|س - h| + k
مثال محلول:
أوجد قيمة: |٣ - ٥| + |٢ - ٧|
٢. دالة أكبر عدد صحيح (Greatest Integer Function)
التعريف:
دالة أكبر عدد صحيح [س] تعطي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س.
تُسمى أيضاً دالة الأرضية (Floor Function)
أمثلة توضيحية:
- [٣.٧] = ٣
- [٥.٢] = ٥
- [-٢.٣] = -٣
- [٧] = ٧
- [٠.٩٩٩] = ٠
الرسم البياني لدالة أكبر عدد صحيح
لاحظ أن الدالة على شكل درجات (خطوط أفقية متقطعة)
مثال محلول:
أوجد قيمة: [٤.٨] + [-٢.١] × [٣.٥]
٣. الدوال الأسية (Exponential Functions)
التعريف:
الدالة الأسية هي دالة على الصورة: ص = أس
حيث: أ > ٠، أ ≠ ١
خصائص الدوال الأسية:
- المجال: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ)
- المدى: الأعداد الموجبة (ص > ٠)
- تمر بالنقطة (٠، ١)
- إذا كان أ > ١: الدالة متزايدة
- إذا كان ٠ < أ < ١: الدالة متناقصة
- الخط المقارب الأفقي: المحور السيني (ص = ٠)
قوانين الأسس:
أم ÷ أن = أم-ن
(أم)ن = أم×ن
أ٠ = ١
أ-ن = ١/أن
مقارنة الدوال الأسية
مثال محلول:
حل المعادلة: ٢س+١ = ٨
٤. الدوال اللوغاريتمية (Logarithmic Functions)
التعريف:
اللوغاريتم هو العملية العكسية للأس
ص = لوأ س يعني: أص = س
حيث: أ > ٠، أ ≠ ١، س > ٠
العلاقة بين الأس واللوغاريتم:
قوانين اللوغاريتمات:
- قانون الضرب: لوأ(م × ن) = لوأ م + لوأ ن
- قانون القسمة: لوأ(م ÷ ن) = لوأ م - لوأ ن
- قانون الأس: لوأ(من) = ن × لوأ م
- قوانين خاصة: لوأ أ = ١، لوأ ١ = ٠
- تغيير الأساس: لوأ س = (لوب س) / (لوب أ)
| الصورة الأسية | الصورة اللوغاريتمية | الأساس | القيمة |
|---|---|---|---|
| ٢³ = ٨ | لو٢ ٨ = ٣ | ٢ | ٨ |
| ١٠² = ١٠٠ | لو١٠ ١٠٠ = ٢ | ١٠ | ١٠٠ |
| ٥⁰ = ١ | لو٥ ١ = ٠ | ٥ | ١ |
| ٣-٢ = ١/٩ | لو٣ (١/٩) = -٢ | ٣ | ١/٩ |
الدالة الأسية ودالتها العكسية (اللوغاريتمية)
لاحظ التماثل حول الخط ص = س
مثال محلول:
بسّط: لو٢ ٣٢ + لو٢ ٤ - لو٢ ٨
٥. اللوغاريتم الطبيعي (Natural Logarithm)
التعريف:
اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم للأساس e (عدد أويلر)
ln س = لوe س
حيث: e ≈ 2.71828...
عدد أويلر (e):
- عدد غير نسبي (لا يمكن كتابته ككسر)
- يظهر في العديد من التطبيقات: النمو السكاني، الفائدة المركبة، الاضمحلال الإشعاعي
- e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
- الدالة eس هي الدالة الوحيدة التي مشتقتها تساوي نفسها
خصائص اللوغاريتم الطبيعي:
ln ١ = ٠
eln س = س
ln(eس) = س
مثال محلول:
حل المعادلة: ln(س + ٢) = ٣
مقارنة اللوغاريتمات المختلفة
المنحنى الأزرق: ln س، المنحنى الأحمر: لو١٠ س، المنحنى الأخضر: لو٢ س
٦. حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
طرق الحل:
المعادلات الأسية: نجعل الأساسات متساوية أو نستخدم اللوغاريتمات
المعادلات اللوغاريتمية: نستخدم خصائص اللوغاريتمات أو نحول إلى صورة أسية
مثال ١: معادلة أسية
حل: ٣٢س-١ = ٢٧
مثال ٢: معادلة لوغاريتمية
حل: لو٥(٢س + ٣) = ٢
مثال ٣: معادلة باستخدام قوانين اللوغاريتمات
حل: لو س + لو(س - ٣) = لو ١٠
أسئلة متوقعة مع الحلول
س١ أوجد قيمة: |٥ - ٩| + |٣ - ١|
الحل:
|٥ - ٩| = |-٤| = ٤
|٣ - ١| = |٢| = ٢
٤ + ٢ = ٦
الإجابة النهائية: ٦
س٢ أوجد قيمة: [٧.٩] - [-٣.٢]
الحل:
[٧.٩] = ٧
[-٣.٢] = -٤
٧ - (-٤) = ٧ + ٤ = ١١
الإجابة النهائية: ١١
س٣ حل المعادلة: ٥س = ١٢٥
الحل:
٥س = ١٢٥
٥س = ٥³
س = ٣
الإجابة النهائية: س = ٣
س٤ بسّط: لو٢ ١٦ + لو٢ ٤ - لو٢ ٢
الحل:
لو٢ ١٦ = لو٢ (٢⁴) = ٤
لو٢ ٤ = لو٢ (٢²) = ٢
لو٢ ٢ = ١
٤ + ٢ - ١ = ٥
الإجابة النهائية: ٥
س٥ حل المعادلة: لو٣(س + ٥) = ٢
الحل:
نحول إلى صورة أسية: س + ٥ = ٣²
س + ٥ = ٩
س = ٤
الإجابة النهائية: س = ٤
س٦ أوجد قيمة: ln(e³)
الحل:
ln(e³) = ٣ × ln(e)
= ٣ × ١
= ٣
الإجابة النهائية: ٣
س٧ حل المعادلة: ٢س+١ × ٢س = ٣٢
الحل:
٢س+١ × ٢س = ٢٢س+١
٢٢س+١ = ٣٢
٢٢س+١ = ٢⁵
٢س + ١ = ٥
٢س = ٤
س = ٢
الإجابة النهائية: س = ٢
س٨ بسّط: لو٥ ٢٥ + لو٥ ٥ - لو٥ ١٢٥
الحل:
لو٥ ٢٥ = لو٥ (٥²) = ٢
لو٥ ٥ = ١
لو٥ ١٢٥ = لو٥ (٥³) = ٣
٢ + ١ - ٣ = ٠
الإجابة النهائية: ٠
س٩ إذا كان |٢س - ١| = ٧، أوجد قيمة س
الحل:
حالة ١: ٢س - ١ = ٧
٢س = ٨
س = ٤
حالة ٢: ٢س - ١ = -٧
٢س = -٦
س = -٣
الإجابة النهائية: س = ٤ أو س = -٣
س١٠ حل المعادلة: لو(س + ٢) + لو(س - ١) = لو ٦
الحل:
لو[(س + ٢)(س - ١)] = لو ٦
(س + ٢)(س - ١) = ٦
س² + س - ٢ = ٦
س² + س - ٨ = ٠
(س + ٤)(س - ٢) = ٠
س = -٤ (مرفوض) أو س = ٢
الإجابة النهائية: س = ٢
ملخص الوحدة
النقاط الأساسية:
- دالة القيمة المطلقة: تعطي المسافة من الصفر، دائماً موجبة أو صفر
- دالة أكبر عدد صحيح: تعطي أكبر عدد صحيح ≤ العدد المعطى
- الدوال الأسية: على الصورة ص = أس، متزايدة إذا أ > ١
- الدوال اللوغاريتمية: العكس الرياضي للدوال الأسية
- اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم للأساس e، يُرمز له بـ ln
- قوانين اللوغاريتمات: الضرب (جمع)، القسمة (طرح)، الأس (ضرب)
- حل المعادلات: جعل الأساسات متساوية أو التحويل بين الصور